Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

），x∈R．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值所對應(yīng)的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其遞減區(qū)間．
（2）利用（1）中函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值和此時想的集合．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+

3

sinxsin（x+

π

2

）
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴當(dāng)

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），時函數(shù)單調(diào)減，
即

2π

3

+kπ≤x≤

5π

3

+kπ（k∈Z），函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

2π

3

+kπ，

5π

3

+kπ]（k∈Z），
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

時，函數(shù)有最大值，
最大值為1+

1

2

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握．