Question

現(xiàn)有三種卡片：一種寫有數(shù)字1，一種寫有數(shù)字10，一種寫有數(shù)字100，從上述三種卡片中選擇若干張，使得這些卡片上的數(shù)字這和為m．
（1）當m=100，試求相應的選法種數(shù)；
（2）對于正整數(shù)n，數(shù)字總和為100n對應的選法種數(shù)為a_n，試用數(shù)學歸納法猜想并證明a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論，只取數(shù)字1或10或100時；取1和10，由此可得結(jié)論；
（2）考慮當數(shù)字和為200時，選法種數(shù)，可得數(shù)字總和為100n對應的選法種數(shù)為a_n，數(shù)字總和為100（n+1）對應的選法種數(shù)為a_n+1，滿足a_n+1=a_n+10n+11，從而可得數(shù)列通項，利用數(shù)學歸納法進行證明．
解答：解：（1）分類討論，只取數(shù)字1或10或100時，共3種；取1和10，可分為1個10，2個10，…9個10，共9種
∴相應的選法種數(shù)為3+9=12種；
（2）當數(shù)字和為200時，只取數(shù)字1或10或100時，共3種；取1和10，可分為1個10，2個10，…19個10，共19種；取1和100，即100個1和1個100，共1種；取10和100，即10個10和1個100，共1種；取數(shù)字1、10、100，相當于取1和10，數(shù)字和為100的情形，共9種，故33種
故可得數(shù)字總和為100n對應的選法種數(shù)為a_n，數(shù)字總和為100（n+1）對應的選法種數(shù)為a_n+1，其中增加的種數(shù)為取1和10；取1和100；取10和100，共10n+11種，即a_n+1=a_n+10n+11
∴a_n+1-a_n=10n+11
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=5n²+6n+1
下面用數(shù)學歸納法進行證明：
①n=1時，由（1）知，結(jié)論成立
②假設(shè)n=k時成立，即a_k=5k²+6k+1，則a_k+1=a_k+10k+11=5k²+16k+11+1=5（k+1）²+6（k+1）+1
即n=k+1時，結(jié)論成立
由①②可得a_n=5n²+6n+1成立．
點評：本題考查數(shù)學歸納法的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關(guān)鍵．