Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），已知它的一條對稱軸是直線x=

π

8

．
（1）求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間和對稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，求得φ 的值，可得f（x）的解析式．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，求得函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間和對稱中心．
（2）由 x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一條對稱軸是直線x=

π

8

，
∴2×

π

8

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，即 φ=kπ+

π

4

，
∴φ=-

3π

4

，f（x）=sin（2x-

3π

4

）．
令2kπ+

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

5π

8

≤x≤kπ+

9π

8

，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

]，k∈z．
令2x-

3π

4

=kπ，求得x=

kπ

2

+

3π

8

，
故函數(shù)的對稱中心為（

kπ

2

+

3π

8

，0）．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

3π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴故當(dāng)2x-

3π

4

=-

π

2

時，函數(shù)f（x）=sin（2x-

3π

4

）取得最小值為-1；
當(dāng)2x-

3π

4

=

π

4

時，函數(shù)f（x）=sin（2x-

3π

4

）取得最大值為

2

2

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．