Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點(diǎn)是x₁，x₂，函數(shù)g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：g（x）=x-alnx（x＞0），g′（x）=1-

a

x

，令g′（x）=0，解得x=a＞0．由于函數(shù)g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，因此x₀=a．由f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1，可得f′（x）=x2-ax+

2

27

．由于函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點(diǎn)是x₁，x₂，必須△=a2-

8

27

＞0，且x₁+x₂=a．又x₀+x₁+x₂＜2，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：g（x）=x-alnx（x＞0），g′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，
令g′（x）=0，解得x=a＞0．
∵函數(shù)g（x）=x-alnx的極值點(diǎn)是x₀，∴x₀=a．
f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1，f′（x）=x2-ax+

2

27

．
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點(diǎn)是x₁，x₂，
∴△=a2-

8

27

＞0，且x₁+x₂=a．
解得a＞

2 6

9

．
又x₀+x₁+x₂＜2，
∴a+a＜2，解得a＜1．
綜上可得：a的取值范圍是

2 6

9

＜a＜1．
故答案為：(

2 6

9

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．