Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（1，2），$\overrightarrow{c}$=（0，1）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ和μ，使$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$，求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角θ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知表示出$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow$的坐標(biāo)，利用向量相等的性質(zhì)解答；
（Ⅱ）將$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)表示出來，利用數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$$+μ\overrightarrow$=（λ+μ，2μ），
所以$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ=0}\\{2μ=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{c}$=（-1，2），$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$=（4，-2），
故cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-4-6}{\sqrt{10}×\sqrt{20}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
所以$θ=\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等的性質(zhì)以及利用數(shù)量積公式求向量的夾角．