Question

8．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為[$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)和漸近線(xiàn)方程，令x=c，聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標(biāo)，結(jié)合距離關(guān)系和條件，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為（c，0），
當(dāng)x=c時(shí)代入雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得y=±$\frac{^{2}}{a}$，則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
則AB=$\frac{2^{2}}{a}$，
將x=c代入y=±$\frac{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，則C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{3}{5}$|CD|，
∴$\frac{2^{2}}{a}$≥$\frac{3}{5}$•$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{3}{5}$c，
則b²=c²-a²≥$\frac{9}{25}$c²，
即$\frac{16}{25}$c²≥a²，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$≥$\frac{25}{16}$，
則e≥$\frac{5}{4}$．
故答案為：[$\frac{5}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算，根據(jù)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合距離公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．