Question

深圳科學(xué)高中致力于培養(yǎng)以科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)見長的創(chuàng)新型高中學(xué)生，“工程技術(shù)”專用教室是學(xué)校師生共建的創(chuàng)造者的平臺，該教室內(nèi)某設(shè)備D價值24萬元，D的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第5年，每年初D的價值比上年初減少2萬元；從第6年開始，每年初D的價值為上年初的25%，
（1）求第5年初D的價值a₅；
（2）求第n年初D的價值a_n的表達(dá)式；
（3）若設(shè)備D的價值a_n大于2萬元，則D可繼續(xù)使用，否則須在第n年初對D更新，問：須在哪一年初對D更新？

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≤5時，D的價值組成一個以24為首項、-2為公差的等差數(shù)列，可求第5年初D的價值a₅；
（2）通過對n的分段討論，得到一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的通項公式求出第n年初D的價值a_n的表達(dá)式；
（3）利用分段函數(shù)，建立不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題可知，當(dāng)n≤5時，D的價值組成一個以24為首項、-2為公差的等差數(shù)列，
所以a₅=24-4×2=16（萬元）-----------------（4分）
（2）當(dāng)n≤5時，a_n=24-2（n-1）=-2n+26---------（6分）
由題可知，當(dāng)n≥5時，D的價值組成一個以16為首項、

1

4

為公比的等比數(shù)列，
所以當(dāng)n≤5時，an=a5•(

1

4

)n-5=16×(

1

4

)n-5=47-n---------（8分）
所以an=

-2n+26，(1≤n≤5，n∈N*) 47-n．(n≥6，n∈N*)

-----------（9分）
（3）當(dāng)n≤5時，a_n＞2恒成立；
當(dāng)n≤5時，由 4^7-n≤2得n＞

13

2

=6

1

2

----------（13分）
答：須在第7年初對D更新．-----------（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式、考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、考查分段函數(shù)，屬于中檔題．