Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E是AB的中點，G為PA上的一點．
（1）求證：平面GDE⊥平面PCD；
（2）若PC∥平面DGE，求

PG

GA

的值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可證得DE⊥平面PCD，進(jìn)而再由面面垂直的判定定理可得平面GDE⊥平面PCD；
（2）當(dāng)PG=2GA，即

PG

GA

=2時，PC∥平面DGE，連接AC交FD與點M，交BE于點N，連接MG，利用線面平行判定定理，可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）連接BD，

∵底面ABCD為菱形，∠DAB=60°
∴△ABD為等邊三角形，
∵E為AB的中點，
∴DE⊥AB，即DE⊥CD，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥平面PCD，
又∵DE?平面GDE，
∴平面GDE⊥平面PCD；
（2）當(dāng)PG=2GA，即

PG

GA

=2時，PC∥平面DGE，理由如下：
連接AC交ED與點M，連接MG
則△AEM∽△CDM，
∵E為AB的中點，
∴

MC

AM

=

CD

AE

=2，
又∵

PG

GA

=2
∴PC∥MG
又∵PC?平面DGF，GM?平面DGF，
∴PC∥平面DGF

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．