Question

(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=,x∈［0，2］.
（1）求f(x)的值域；
（2）設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若對任意x₁∈［0，2］，總存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解（1） 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，f′(x)=·.
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上單調(diào)遞減.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,
∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，f(x)的值域是.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)在［0，2］上的值域是A.
∵對任意x₁∈［0，2］，總存在x₀∈［0，2］，
使f(x₁)-g(x₀)=0,∴A.
對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，g′(x)=ax²-a².
①當(dāng)x∈(0,2),a＜0時(shí)，g′(x)＜0,
∴函數(shù)g(x)在（0，2）上單調(diào)遞減.
∵g(0)=0,g(2)=a-2a²＜0,
∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，不滿足A；
②當(dāng)a＞0時(shí)，g′(x)=a(x-)(x+).
令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.
（ⅰ)當(dāng)x∈［0，2］，0＜＜2時(shí)，列表：

∵g(0)=0,g()＜0,
又∵A，∴g（2）=≥.
解得≤a≤1.
(ⅱ)當(dāng)x∈(0,2),≥2時(shí)，g′(x)＜0,
∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，
∵g（0）=0，g（2）=＜0,
∴當(dāng)x∈［0，2］時(shí)，不滿足A.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

略