Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的所有切線，令各切點(diǎn)得橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）利用到導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求解；（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，將的坐標(biāo)代入切線方程，求得，再利用兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn).方程，的根即所作的所有切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列的項(xiàng)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對(duì).
試題解析：（Ⅰ）由于，
所以.           (2分)
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使總成立，只需時(shí).
對(duì)求導(dǎo)得，
令，則，()
所以在上為增函數(shù)，所以.                       (6分)
對(duì)分類討論：
① 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；
② 當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022746691484.png" style="vertical-align:middle;" />在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；
③ 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.                    (9分)
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240227471441180.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為，
切線方程為，              (11分)
將的坐標(biāo)代入切線方程，得

，即，               
令，，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，方程，的根即所作的所有切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列的項(xiàng)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對(duì)，每對(duì)的和為，因此數(shù)列的所有項(xiàng)的和.                               (13分)