Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞減；（2）.

【解析】試題分析：

(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系求得 實(shí)數(shù) 的值，確定函數(shù)的解析式之后即可討論函數(shù)的單調(diào)性.

(2)分離系數(shù)后討論 的取值范圍即可，構(gòu)造新函數(shù)后求導(dǎo)，討論新函數(shù)的值域，注意討論值域時(shí)利用反證法假設(shè)存在實(shí)數(shù) 滿足 ，由得出的矛盾知假設(shè)不成立，即函數(shù)的最小值開區(qū)間處為 .

試題解析：

（1）由題意得

∴，

∴在處的切線方程為

即，

∵點(diǎn)在該切線上，∴，

∴

函數(shù)在單調(diào)遞減；

（2）由題意知且，

原不等式等價(jià)于，

設(shè)，

由（1）得在單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；

∴，

假設(shè)存在正數(shù)，使得，

若，當(dāng)時(shí)， ；

若，當(dāng)時(shí)， ；

∴不存在這樣的正數(shù)，使得，∴的值域?yàn)?/span>

∴的取值范圍為.