Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數m的值和P的坐標；
（II）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M、N，求實數m的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，過線段MN的中點作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交于S、T點，以S點為切點
作f（x）的切線l₁，以T為切點作g（x）的切線l₂，是否存在實數m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）設函數y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點為P（x₀，y₀），
則有l(wèi)nx₀=（m+1）x₀²-x₀①，
又在點P處有共同的切線，
∴，②
②代入①，得．
設．
所以，函數h（x）最多只有1個零點，
觀察得x₀=1是零點，故m=0．
此時，點P（1，0）；
（II）根據（I）知，當m=0時，兩條曲線切于點P（1，0），
此時，變化的y=g（x）的圖象的對稱軸是x=，
而y=f（x）是固定不變的，如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動，
即，解得-1＜m＜0．兩條曲線有兩個不同的交點，
當m＜-1時，開口向下，只有一個交點，顯然不合題意，
所以，有-1＜m＜0；

（III）假設存在這樣的m，不妨設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
則MN中點的坐標為．
以S為切線的切線l₁的斜率，
以T為切點的切線l₂的斜率．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即．③
而且有l(wèi)nx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果將③的兩邊同乘以x₁-x₂，得
④，
即，
也就是．
設μ=，則有．
令（μ＞1），則．
∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上單調遞增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴⑤
∴④與⑤矛盾．
所以，不存在實數m使得l₁∥l₂．
分析：（I）設兩函數圖象的公共點的坐標P（x₀，y₀），把P的坐標代入到f（x）和g（x）中利用的函數值相等得到一個關系式記作①，又因為在P處有共同的切線，所以分別求出f（x）和g（x）的導函數，把P的橫坐標分別代入到兩導函數中利用導函數值相等得到又一個關系式，由關系式解出m，記作②，將②代入①，把右邊變?yōu)?后，設左邊的關系式為h（x），求出h（x）的導函數，利用x大于0得到導函數大于0，所以h（x）最多只有1個零點，觀察可得橫坐標為1為零點，即可求出m的值，進而求出此時P的坐標；
（II）由第一問求得的m的值和P的坐標，求出函數g（x）的對稱軸，f（x）是固定不變的，所以將g（x）的對稱軸向右移動，兩條曲線有不同的交點，即當x=大于列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到此時m的范圍，而當m小于-1時，拋物線開口向下，只有一個交點，不合題意；
（III）采用反證法證明，方法是：假設存在這樣的m，可設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，利用中點坐標公式求出M與N的中點坐標，然后把中點的橫坐標分別代入到f（x）和g（x）的導函數中即可求出兩切線方程的斜率，因為兩切線平行，所以利用斜率相等得到一個關系式記作③，且把兩點的橫坐標分別代入到f（x）和g（x）中，并讓函數值相等，給③的兩邊同乘以x₁-x₂，得關系式④，把④化簡后，設μ等于大于1，得到關于μ的等式，移項后設h（μ）等于等式的左邊，求出h（μ）的導函數，判斷出導函數大于0，得到h（μ）在[1，+∞]上單調遞增，故h（μ）＞h（1）=0，與剛才化簡的等式④矛盾，所以假設錯誤，所以不存在這樣的m，使l₁∥l₂．
點評：此題要求學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會討論根的存在性并會判斷根的個數，掌握反證法的證明方法，是一道比較難的題．