Question

14．設(shè)p、q是實數(shù)，則表達(dá)式u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²的最小值為8．

Answer 1

分析 u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²，表示兩點M$（p，\sqrt{2-{p}^{2}}）$，N$（-q，\frac{9}{q}）$之間的距離的平方．由于點M滿足：x²+y²=2，點N滿足：xy=-9．設(shè)N$（-q，\frac{9}{q}）$是曲線xy=-9上的任意一點．利用基本不等式的性質(zhì)可得：|ON|=$\sqrt{{q}^{2}+\frac{81}{{q}^{2}}}$≥3$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：要使$\sqrt{2-{p}^{2}}$由意義，則p²≤2．
u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²，表示兩點M$（p，\sqrt{2-{p}^{2}}）$，N$（-q，\frac{9}{q}）$之間的距離的平方．
由于點M滿足：x²+y²=2，點N滿足：xy=-9．
設(shè)N$（-q，\frac{9}{q}）$是曲線xy=-9上的任意一點．
則|ON|=$\sqrt{{q}^{2}+\frac{81}{{q}^{2}}}$≥3$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)q²=9時取等號，
∴M，N兩點之間的距離的最小值為3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴u=（p+q）²+（$\sqrt{2-{p}^{2}}$-$\frac{9}{q}$）²的最小值為8．
故答案為：8．

點評 本題考查了曲線上兩點之間的距離的最值、兩點之間的距離公式、曲線的方程、基本不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題．