Question

(本題滿分13分) 已知函數(shù),函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;

（II）若,且函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;

（III）對(duì)于（II）中所求的a值，若函數(shù)，恰有三個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),函數(shù). （II）1；

（III）。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。利用導(dǎo)數(shù)求解最值和方程的解，以及解析式的求解的綜合運(yùn)用。

（1）∵,去掉絕對(duì)值然后分情況求解導(dǎo)數(shù)得到結(jié)論。

∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),

∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),.

∴當(dāng)時(shí),函數(shù).

（2）由⑴知當(dāng)時(shí),,

∴當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由，得a=1 (8分)

分析導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。

（3）構(gòu)造函數(shù)

所以，方程，有兩個(gè)不等實(shí)根，且不含零根。等價(jià)轉(zhuǎn)化后得到。

解: （Ⅰ）∵,

∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),

∴當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),.

∴當(dāng)時(shí),函數(shù).  （4分）

（Ⅱ）∵由⑴知當(dāng)時(shí),,

∴當(dāng)時(shí), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由，得a=1 (8分)

令，得或x=b

(1)            若b>1,則當(dāng)0<x<1時(shí)，，當(dāng)1<x<b,時(shí)，當(dāng)x>b時(shí)，；

(2)            若b<1,且b則當(dāng)0<x<b時(shí)，，當(dāng)b<x<1時(shí)，，當(dāng)x>1時(shí)，

所以函數(shù)h(x)有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件為或解得或 

綜合： （13分）

另解：

所以，方程，有兩個(gè)不等實(shí)根，且不含零根

解得：  （13分）