Question

已知x軸上的點A₁，A₂…，A_n滿足=（n≥2，n∈N^*），其中A₁（1，0），A₂（5，0）；點B₁，B₂，…B_n，…在射線y=x（x≥0）上，滿足||=||+2 （n∈N^*），其中B₁（3，3）．
（1）用n表示點A_n與B_n的坐標；
（2）設直線A_nB_n的斜率為k_n，求k_n的值；
（3）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，
∵A₁（1，0），A₂（5，0），∴x₂-x₁=4
∴{x_n-x_n-1}是以4為首項，為公比的等比數(shù)列
∴
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+4+…+=9-2^4-n
∴A_n（9-2^4-n，0）；
∵射線y=x（x≥0）上，滿足||=||+2 （n∈N^*），
∴x_n+1=+2
∴x_n+1-x_n=2
∵B₁（3，3）．
∴{x_n}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴x_n=2n+1
∴B_n（2n+1，2n+1）；
（2）設直線A_nB_n的斜率為k_n=，∴k_n==1；
（3）四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S=（9-2^3-n）（2n+3）-=
設a_n=，則a_n+1=
∵a_n+1-a_n=[]-[]=
∴a₂＞a₁，a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞…
∴a₂最大，為12
∴四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍為（-∞，12]．
分析：（1）根據(jù)=，可得，從而可得{x_n-x_n-1}是以4為首項，為公比的等比數(shù)列；利用射線y=x（x≥0）上，滿足||=||+2 （n∈N^*），可得{x_n}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可用n表示點A_n與B_n的坐標；
（2）確定直線A_nB_n的斜率為k_n=，從而可求k_n的值；
（3）四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S=（9-2^3-n）（2n+3）-=，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積S的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的證明，考查數(shù)列通項的求解，考查四邊形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．