設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*都有2pSn=an2+pan（其中p＞0為常數(shù)）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)任意n∈N*都有…+＜1成立，求p的取值范圍．
【答案】分析：（1）利用數(shù)列遞推式確定首項(xiàng)，再寫一式，兩式相減，即可得到結(jié)論；
（2）利用裂項(xiàng)法可求…+，結(jié)合…+＜1成立，即可求p的取值范圍，求p的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2pS1=a12+pa1，∴a1=p，
∵2pSn=an2+pan，∴n≥2時(shí)，2pSn-1=an-12+pan-1，
兩式相減可得p（an+an-1）=（an-an-1）（an+an-1）
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=p
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公差都為p的等差數(shù)列
∴an=np；
（2）由（1）知，∴=
∴…+=（1-+-+…+）==
∵對(duì)任意n∈N*都有…+＜1成立，
∴
∴
∵
∴≥1，即p≥2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關(guān)系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，若Dn內(nèi)的整點(diǎn)（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關(guān)系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對(duì)一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　�。�

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