Question

11．在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與曲線C分別交于M，N兩點．
（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為普通方程求解
（2）把參數(shù)表達(dá)式代入曲線C得出普通方程，利用韋達(dá)定理求解得出即可．

解答 解：（1）ρsin²θ=2acosθ可變?yōu)棣?SUP>2sin²θ=2aρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2ax．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+tcos\frac{π}{4}}\\{y=-4+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.（t為參數(shù)）⇒\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，}\\{y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，}\end{array}（t為參數(shù)）$．
（2）將直線l的參數(shù)表達(dá)式代入曲線C得$\frac{1}{2}{t^2}-（4\sqrt{2}+\sqrt{2}a）t+16+4a=0$，
∴${t_1}+{t_2}=8\sqrt{2}+2\sqrt{2}a，{t_1}{t_2}=32+8a$．
又|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|，
由題意知，|t₁-t₂|²=|t₁t₂|，（t₁+t₂）²=5t₁t₂，
代入解得a=1．

點評 本題考查了參數(shù)，極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為普通方程求解，屬于容易題．