Question

數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為3且a₁+a₂+a₃=15，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=1，b_n+1=2S_n+1，（n∈N₊）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（3）設(shè)c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求出公差，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）由數(shù)列遞推式求出數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（3）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，然后由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

a1=3 3a1+3d=15

，得d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由b_n+1=2S_n+1，得
b_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得，b_n+1-b_n=2b_n，
b_n+1=3b_n（n≥2），
∵b₁=1，
∴b₂=2b₁+1=3，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴bn=3n-1；
（3）cn=anbn=(2n+1)•3n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=3×3⁰+5×3¹+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1  ①
3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)•3n-1+(2n+1)•3n  ②
①-②得-2Tn=3+2(31+32+…+3n-1)-(2n+1)•3n=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)•3n．
∴Tn=n•3n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．