Question

已知直線l：x+ay+1-a=0．
（Ⅰ）若l與線段AB有交點(diǎn)，其中A（-2，-1），B（1，1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若l與x軸的負(fù)半軸交M點(diǎn)，交y軸正半軸于N，求△OMN的面積最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）結(jié)合圖形，求出直線PA的斜率，直線PB的斜率，從而得到直線PA的傾斜角和直線PB的傾斜角，即可求求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）先求直線與x軸、y軸的截距，再利用基本不等式求面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）直線l過(guò)定點(diǎn)P（-1，1），K_PA=2，K_PB=0，要使l滿足條件，必須
當(dāng)a=0時(shí)，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，l的斜率-

1

a

≥2或-

1

a

＜0
即a＞0或0＞a≥-

1

2

，綜上得a≥-

1

2

；
（Ⅱ）M(a-1，0)，N(0，

a-1

a

)，依題意有

a-1 a ＞0 a-1＜0

，而S△OMN=-

1

2

(a+

1

a

-2)，∵a＜0，∴a+

1

a

-2≤-4，即S△OMN=-

1

2

(a+

1

a

-2)≥2，當(dāng)a=-1時(shí)，面積的最小值為2，此時(shí)直線的方程為x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生會(huì)求直線與x軸、y軸的截距，會(huì)利用基本不等式求面積的最小值，會(huì)寫出直線的一般式方程