Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^ax，其中a≥0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）當(dāng)a=0時，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，則f'（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若x＜0，則f'（x）＜0，從而f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（ii）當(dāng)a＞0時，令 f′（x）=0，得x（ax+2）=0，故x=0或x=-

2

a

．
若x＞0，則f'（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若-

2

a

＜x＜0，則f′（x）＜0，從而f（x）在（-

2

a

，0））上單調(diào)遞減；
若 x＜-

2

a

，則f′（x）＞0，從而f（x）在（-∞，-

2

a

）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）（i）當(dāng)a=0時，f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值是f（-1）=1．
（ii）當(dāng)-

2

a

＜-1?0＜a＜2時，f（x）在區(qū)間[-1，0]上遞減，最大值是f（-1）=e^-a．
（iii）當(dāng)-

2

a

≥-1?a≥2時，f（x）在區(qū)間[-1，0]上先增后減，最大值是 f（-

2

a

）=

4

a2•e2