Question

以下四個命題中：
①命題“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²＜0”；
②與兩定點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差的絕對值等于1的點(diǎn)的軌跡為雙曲線；
③“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件；
④曲線

x2

25

+

y2

9

=1與曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有相同的焦點(diǎn)；
⑤設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，則|PA|的最大值為8；
其中真命題的序號是

 

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：①，寫出命題“?x∈R，x²＞0”的否定，可判斷①；
②，利用雙曲線的定義，可判斷②；
③，直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直，可得1-a²=0，解得a=±1，利用充分必要條件的概念可判斷③；
④，分別計算曲線

x2

25

+

y2

9

=1與曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷④；
⑤，利用橢圓的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長半軸長為a=5，半焦距為c=3的橢圓，利用其性質(zhì)可知|PA|_max=a+c，可判斷⑤．

解答： 解：對于①，命題“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²≤0”故①錯誤；
對于②，與兩定點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差的絕對值等于1（小于2）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故②正確；
對于③，直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直⇒1-a²=0，故a=±1，
所以“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充分不必要條件，故③錯誤；
對于④，曲線

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±4，0），曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）的焦點(diǎn)為（0，±4），
所以曲線

x2

25

+

y2

9

=1與曲線

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有不相同的焦點(diǎn)，故④錯誤；
對于⑤，設(shè)A，B為兩個定點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，則點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長半軸長為a=5，半焦距為c=3的橢圓，
|PA|_max=a+c=5+3=8，故⑤正確；
綜上所述，真命題的序號是②⑤，
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系及真假判斷，考查充分必要條件的概念及應(yīng)用、圓錐曲線的定義與性質(zhì)，術(shù)語中檔題．