Question

已知平面直角坐標系xOy中O是坐標原點，A（6，2），B（8，0），圓C是△OAB的外接圓，過點（2，6）的直線為l．
（1）求圓C的方程；
（2）若l與圓相切，求切線方程；
（3）若l被圓所截得的弦長為4，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），
∴直線OA的方程斜率為=，
∴線段OA垂直平分線的斜率為﹣，
又線段AO的中點坐標為（3，），
∴線段OA垂直平分線的方程為y﹣=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0①，
又線段OB的垂直平分線為x=4②，
∴將②代入①解得：y=0，
∴圓心C的坐標為（4，0），
又|OC|=4，即圓C的半徑為4，
則圓C的方程為：（x﹣4）²+y²=16；
（2）顯然切線方程的斜率存在，設(shè)切線l的斜率為k，又切線過（2，6），
∴切線l的方程為y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，
∴圓心到切線的距離d=r，即=4，
解得：k=，
則切線l的方程為：y﹣6=（x﹣2）； 
（3）當直線l的斜率不存在時，顯然直線x=2滿足題意；
當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，又直線l過（2，6），
∴切線l的方程為y﹣6=k（x﹣2），
即kx﹣y+6﹣2k=0，
又弦長為4，半徑r=4，
∴圓心到切線的距離d==2，即=2，
解得：k=﹣，
∴直線l的方程為y﹣6=﹣（x﹣2），
即4x+3y﹣26=0，
綜上，直線l的方程為x=2或4x+3y﹣26=0．