Question

一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點(diǎn)A的正上方相距（+1）R處有一點(diǎn)光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影——橢圓的離心率為 ．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：根據(jù)圓曲線(xiàn)的第一定義，作出過(guò)圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，可得直角三角形AOA′，結(jié)合已知求出橢圓的a值，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出c，即可求出橢圓的離心率．

【解析】
如圖是過(guò)圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA′的截面，

ED兩點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)O引圓D的兩條切線(xiàn)與圓D的切點(diǎn)，

∵OA=（+1）R，

故在Rt△OBE中，

OE=R，BE=R，

則tan∠EOB=，

即∠EOB=30°，

故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，

故AA′=2a=OA=（3+）R，即a=，

根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義，

可得球與長(zhǎng)軸AA′的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)F，

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，AF是焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的距離AF=a﹣c=R，

∴c==a，

所求橢圓的離心率e==，

故答案為：