精英家教網(wǎng)已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中,點E為棱CC′上任意一點,AB=BC=2,CC′=1.
(Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點P為棱C′D′的中點,點E為棱CC′的中點,求二面角P-BD-E的余弦值.
分析:(I)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC⊥BD,由CC'⊥平面ABCD得到BD⊥CC',從而證出BD⊥平面ACC'A',再根據(jù)面面垂直判定定理,即可得到平面ACC′A′⊥平面BDE;
(II)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,可得B、D、E、P各點的坐標(biāo),從而得出
DB
、
DE
DP
的坐標(biāo),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法,建立方程組解出
m
=(1,-1,4)
是平面BDE的一個法向量,
n
=(1,-1,1)
是平面PBD的一個法向量,根據(jù)空間向量的夾角公式加以計算,即可得到二面角P-BD-E的余弦值.
解答:解:(Ⅰ)∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD,
∵CC'⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥CC'.
又∵CC'∩AC=C,∴BD⊥平面ACC'A'.
∵BD?平面BDE,
∴平面BDE⊥平面ACC'A',即平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)建立分別以DA、DC、DD'為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
可得D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,2,
1
2
),P(0,1,1).
設(shè)平面BDE的一個法向量為
m
=(x,y,z)
,精英家教網(wǎng)
DB
=(2,2,0),
DE
=(0,2,
1
2
)

m
DB
=2x+2y=0
m
DE
=2y+
1
2
z=0
,取x=1,得y=-1且z=4.
可得
m
=(1,-1,4)
;
設(shè)平面PBD的一個法向量為
n
=(m,n,p)

DP
=(0,1,1)
,∴
n
DB
=2m+2n=0
n
DP
=n+p=0

取m=1,得n=-1且p=1,可得
n
=(1,-1,1)

cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
6
3
,且二面角P-BD-E是銳二面角,
∴二面角P-BD-E的余弦值為
6
3
點評:本題在特殊的長方體中證明線面垂直、面面垂直,并求二面角的余弦之值.著重考查了長方體的性質(zhì)、空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明、利用空間向量研究平面與平面所成角的大小等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,M,N分別是棱BB1,BC上的點,且BM=2,BN=1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求:
(1)異面直線DM與AN所成角的余弦值;
(2)直線DM與平面AMN所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.
(Ⅰ)求證:D1E⊥A1D;
(Ⅱ)在棱AB上是否存在點E使得AD1與平面D1EC成的角為
π6
?若存在,求出AE的長,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知在長方體ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1=5,AB=12,直線B1C1和平面A1BCD1的距離為_____________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣東省六校聯(lián)合體高二元月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:選擇題

已知在長方體ABCD­A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離是(   )

A .     B.      C.     D.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案