Question

如下圖所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a,PA⊥平面ABCD，PA=1.

（1）在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD？說(shuō)明理由.

（2）若BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的正弦值.

（3）在（2）的條件下，能求出平面PQD與平面PAB所成的角的大小嗎？

Answer 1

解:（1）假設(shè)BC邊上存在Q點(diǎn)，使得PQ⊥QD，則連結(jié)AQ，必有∠AQD=90°,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:在邊BC上是否存在點(diǎn)Q，使得∠AQD=90°?

    由平面幾何知識(shí)，問(wèn)題又可轉(zhuǎn)化為:以AD為直徑作圓，是否與BC邊有交點(diǎn)？

易知，當(dāng)AB≤AD，即a≥2時(shí)，BC邊上存在點(diǎn)Q，使得∠AQD=90°,從而由三垂線(xiàn)定理有PQ⊥QD；

    當(dāng)AB＞AD，即a＜2時(shí)，不存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD.

（2）當(dāng)BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，可知BC=2，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn).

∵DQ⊥AQ，DQ⊥PA，

∴DQ⊥平面PAQ.

∴平面PAQ⊥平面PQD.過(guò)A點(diǎn)作AE⊥PQ于E點(diǎn)，連結(jié)DE，

∴AE⊥平面PDQ.

∴∠ADE為AD與平面PDQ所成的角.

    在Rt△PAQ中，PA·AQ=AE·PQ，

∴AE=.

    在Rt△AED中，sin∠ADE=.

（3）延長(zhǎng)DQ、AB交于F點(diǎn)，則二面角D—PF—A即為所求.

∵AD⊥AB，AD⊥PA，

∴AD⊥平面PAB.過(guò)A作AH⊥PF于H點(diǎn)，連結(jié)DH，則DH⊥PF，

∴∠DHA為二面角D—PF—A的平面角.

    在Rt△PAF中，

∵AH·PF=PA·FA，

∴AH=.

    在Rt△DAH中，tan∠DHA=,

∴∠DHA=arctan.

∴平面PQD與平面PAB所成角為arctan.