如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是2，D是BC上一點(diǎn)且A1B∥平面AC1D．

　　(1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

 

　　(2)求二面角C-AC1-D的大��；

 

　　(3)求點(diǎn)A1到平面AC1D的距離．

答案：
解析：

(1)證明：連結(jié)A1C交AC1于E則E是A1C的中點(diǎn)，連結(jié)DE

　　∵　A1B∥面ADC1，且面A1BC∩面ADC1=DE

　　∴　A1B∥DE

　　由E是A1C的中點(diǎn)知D是BC的中點(diǎn)

　　∴　AD⊥BC

　　又AD⊥BB1

　　∴　AD⊥面BCC1B1

　　∴　面ADC1⊥面BCC1B1

　　(2)解：作CH⊥C1D于H

　　則CH⊥面ADC1，連結(jié)HE

　　由AC=CC1知CE⊥AC1

　　∴　由三垂線定理的逆定理知AC1⊥EH

　　∴　∠CEH是二面角C-AC1-D的平面角

　　∵　CH=，CE=

　　∴　sin∠CEH=

　　∴　∠CEH=

　　(3)解：∵　E為A1C的中點(diǎn)，A1E=CE

　　∴　點(diǎn)C到平面AC1D的距離CH，即為點(diǎn)A1到平面AC1D的距離．

　　由(2)可知CH=

　　∴　點(diǎn)A1到平面AC1D的距離為．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是
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，D是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．

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（08年唐山一中調(diào)研二） 如圖所示，正三棱柱的底面邊長為a，點(diǎn)M在BC上，是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求證：點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；

   （Ⅱ）求點(diǎn)C到平面的距離；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

 

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如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．

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如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．

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