Question

【題目】已知函數(shù) ，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（I）若在上單調(diào)遞減，求的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（I）2；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意得對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，設(shè)，則對(duì)于恒成立，由，得，然后再驗(yàn)證時(shí)成立即可得到所求．（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且， 故當(dāng)時(shí)，，整理得．然后再證明成立，最后將兩不等式相加可得所證不等式．

（Ⅰ）由，得．

∵在上單調(diào)遞減，

∴對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，

設(shè)，則對(duì)于恒成立.

則，

∴，

當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增， ，

∴當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增．

∴，即恒成立，

∴的最大值為2．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時(shí)，，即，

∴，

∴， ①

下面證明， ②

令，則，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，故②成立．

由①+②得成立．