Question

（本小題滿分14分）在數(shù)列中，是數(shù)列前項(xiàng)和，，當(dāng)

 （I）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

 （II）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（III）是否存在自然數(shù)，使得對任意自然數(shù)，都有成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）（III）存在，的最大值為，理由見解析

【解析】

試題分析：（I）由已知得，當(dāng)時，，

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315032283969023/SYS201301131504151677477809_DA.files/image007.png">，

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.                                  ……4分

（II ）由（I）知，，

所以.                                                                

所以，                            ……6分

所以

.            ……8分

（III）令，顯然在上是增函數(shù)，

所以當(dāng)時，取得最小值，

依題意可知，要使得對任意，都有，

只要，即，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315032283969023/SYS201301131504151677477809_DA.files/image025.png">所以的最大值為.                                                   ……14分

考點(diǎn)：本小題主要考查等差數(shù)列的證明，裂項(xiàng)法求和、數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，考查學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力和邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活處理.