Question

已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側(cè)．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 詳見解析；(Ⅱ ) 平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識，又，可證得平面；(Ⅱ ) 建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量可求出二面角的余弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得

根據(jù)勾股定理可得，即：，又，平面；

(Ⅱ) 以C為原點(diǎn)，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,，，，作，因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200591407546744/SYS201309220100076834403333_DA.files/image015.png">面，易知，，且，

從平面圖形中可知：，易知面CDE的法向量為

設(shè)面PAD的法向量為，且．

解得

故所求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：1、線面垂直的判定，2、二面角的求法．