Question

設函數．

（1）當，時，求所有使成立的的值。

（2）若為奇函數，求證： ；

（3）設常數＜，且對任意x，＜0恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）或；（2）見解析 ；（3）＜ ＜．            

【解析】本試題主要是考查了函數的奇偶性與函數與不等式關系的運用，以及函數解析式的綜合運用。

（1）當，時，函數．

  

或

（2）若為奇函數,則對任意的都有恒成立，則展開可得。

（3）由＜＜0， 當x=0時取任意實數不等式恒成立．

當0＜x≤1時,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．

從而構造函數得到結論。

解：（1）當，時，函數．

  

或

（2） 若為奇函數,則對任意的都有恒成立，

即，

令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴       

（3）由＜＜0， 當x=0時取任意實數不等式恒成立．

當0＜x≤1時,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．

令在0＜x≤1上單調遞增，∴＞．                        

令，則在上單調遞減，單調遞增

當＜時，在0＜x≤1上單調遞減；

∴＜，∴ ＜＜．                          

當≤＜時    ≥．

∴ ＜．∴＜ ＜．