Question

某班級(jí)2014年元旦迎新有獎(jiǎng)活動(dòng)中有一節(jié)目，投擲一個(gè)各面分別有數(shù)字1，2，3，4，且質(zhì)地均勻的小正四面體，記其底面的數(shù)字為投擲的點(diǎn)數(shù)，規(guī)定：參與者連續(xù)投擲三次，投出的點(diǎn)數(shù)全部一樣，或只含有1、3，或只含有2、4，則獲獎(jiǎng)，如“4，4，4”，“1，1，3”，“2，2，4”等情形獲獎(jiǎng)，每人僅限參與節(jié)目一次．
（1）求參與者甲獲獎(jiǎng)的概率；
（2）獲獎(jiǎng)一次得到獎(jiǎng)金10元，否則得到1元，求參與者甲、乙、丙三人總共獲得的獎(jiǎng)金ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲連續(xù)投擲三次，基本事件總數(shù)n=4³=64，投出的點(diǎn)數(shù)全部一樣，或只含有1、3，或只含有2、4的種數(shù)m=2³+2³=16，由此能求出參與者甲獲獎(jiǎng)的概率．
（2）參與者甲、乙、丙三人獲獎(jiǎng)人數(shù)X～B（3，

1

4

），由題意知ξ的可能取值為3，12，21，30，由此能求出參與者甲、乙、丙三人總共獲得的獎(jiǎng)金ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）甲連續(xù)投擲三次，基本事件總數(shù)n=4³=64，
投出的點(diǎn)數(shù)全部一樣，或只含有1、3，或只含有2、4的種數(shù)m=2³+2³=16，
∴參與者甲獲獎(jiǎng)的概率p=

m

n

=

16

64

=

1

4

．
（2）由（1）知參與者甲、乙、丙獲獎(jiǎng)的概率均為

1

4

，且相互獨(dú)立，
∴參與者甲、乙、丙三人獲獎(jiǎng)人數(shù)X～B（3，

1

4

），
由題意知ξ的可能取值為3，12，21，30，
P（ξ=3）=P（X=0）=

C

0 3

(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=12）=P（X=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=21）=P（X=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

9

64

，
P（ξ=30）=P（X=4）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	12	21	30
P	27 64	27 64	9 64	1 64

Eξ=3×

27

64

+12×

27

64

+21×

9

64

+30×

1

64

=

39

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．