Question

10．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{10}$，0）、F₂（$\sqrt{10}$，0），M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=2，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=0，則該雙曲線的方程是（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得MF₁⊥MF₂進(jìn)一步求出$（|M{F}_{1}|-|M{F}_{2}|）^{2}=|M{F}_{1}{|}^{2}$$-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|+|M{F}_{2}{|}^{2}$=36，由此得到a=3，則該雙曲線的方程可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}⊥\overrightarrow{M{F}_{2}}$即MF₁⊥MF₂，
∴$|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}=40$．
則$（|M{F}_{1}|-|M{F}_{2}|）^{2}=|M{F}_{1}{|}^{2}$$-2|M{F}_{1}|•|M{F}_{2}|+|M{F}_{2}{|}^{2}$=40-2×2=36．
∴|MF₁|-|MF₂|=6=2a．即a=3．
∵c=$\sqrt{10}$，∴b²=c²-a²=1．
則該雙曲線的方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=1$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意向量的合理運(yùn)用，是中檔題．