Question

如圖，已知橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足|F₁Q|=2a．點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)M在線段F₂Q上，且滿足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，求△OAB面積的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的結(jié)果，試對(duì)橢圓Γ寫出類似的命題．（只需寫出類似的命題，不必說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y）為軌跡C上的任意一點(diǎn)．分類討論，當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（-a，0）在軌跡C上，當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由•=0，得⊥，從而可值M為線段F₂Q的中點(diǎn)，進(jìn)而可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y并整理，利用韋達(dá)定理及直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，可求直線方程，從而可求△OAB面積，進(jìn)而可得△OAB面積的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則△OAB面積的取值范圍為（0，ab）．”
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y）為軌跡C上的任意一點(diǎn)．
當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（-a，0）在軌跡C上．
當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由•=0，得⊥．
又||=||（如圖），所以M為線段F₂Q的中點(diǎn)．
在△QF₁F₂中，||=|F₁Q|=a，所以有x²+y²=a²．
綜上所述，點(diǎn)M的軌跡C的方程是x²+y²=a²．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y并整理，得
（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
則△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，
且x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，
∴•==k²，
即+m²=0，又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d=，
∴S_△OAB=|AB|d=|x₁-x₂|•
=|x₁-x₂||m|=．
由直線OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜＜=a²．
故△OAB面積的取值范圍為（0，a²）．…（10分）
（Ⅲ）對(duì)橢圓Γ而言，有如下類似的命題：“設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，則△OAB面積的取值范圍為（0，ab）．”…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查求三角形的面積，考查類比思想，解題的關(guān)鍵是挖掘隱含條件，正確表示三角形的面積，屬于中檔題．