如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點,D為PB中點,且△PMB為正三角形.
(1)求證DM∥平面APC; 
(2)求證平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.
考點:與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定
專題:空間角
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出MD∥AP,由此能證明DM∥平面APC.
(2)由已知條件推導(dǎo)出MD⊥PB,AP⊥PB,由此得到AP⊥平面PBC,從而得到AP⊥BC,由此能證明平面ABC⊥平面PAC.
(3)以D為原點,DB、DC、DM為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-AB-C的正弦值.
解答: (1)證明:∵M為AB中點,D為PB中點,
∴MD∥AP.
又∵MD?平面APC,
∴DM∥平面APC.
(2)證明:∵△PMB為正三角形,且D為PB中點,
∴MD⊥PB.
又由(1)知,MD∥AP.∴AP⊥PB.
又已知AP⊥PC,
∴AP⊥平面PBC.
∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC,
∴BC⊥平面APC.
∴平面ABC⊥平面PAC.
(3)解:∵BC=PC=4,設(shè)PB=PM=BM=a,則PB=2a,
由題意知
4a2-16=AC2
AC2-16=AP2
AP2+a2=4a2

解得a=4
2
,
以D為原點,DB、DC、DM為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(-2
2
,0,4
6
),B(2
2
,0),C(0,2
2
,0),
AB
=(4
2
,0,-4
6
)
,
AC
=(2
2
,2
2
,-4
6
)
,
設(shè)平面ABC的法向量
n
=(x,y,z)

n
AB
=4
2
x-4
6
z=0
n
AC
=2
2
x+2
2
y-4
6
z=0
,
取x=
3
,得
n
=(
3
,
3
,1),
由題意知平面PAB的法向量
m
=(0,1,0)
,
∴cos<
n
,
m
>=
3
7
,
設(shè)二面角P-AB-C的平面角為θ,
則sinθ=
1-(
3
7
)2
=
2
7
7

∴二面角P-AB-C的正弦值為
2
7
7
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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1
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3
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n
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3
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