Question

2．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0）上對任意兩個不相等的實數(shù)a，b總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，且f（2）=0，則使xf（x）＜0的x的取值范圍是（　　）

• A． -2＜x＜2
• B． x＞2或-2＜x＜0
• C． -2＜x＜0
• D． x＜-2或x＞2

Answer 1

分析 由題意可得偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，故它在（0，+∞）上單調(diào)遞減，通過討論x的范圍，求出不等式xf（x）的解集即可．

解答 解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
且對任意的a，b∈（-∞，0），
當(dāng)a≠b時，都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，
故它在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
故x＞0時，xf（x）＜0，即f（x）＜f（2），解得：x＞2，
x＜0時，xf（x）＜0，即f（x）＞f（-2），解得：-2＜x＜0，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，是一道中檔題．