Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F． （Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為底面ABCD是菱形，所以AB∥CD． 又因為AB面PCD，CD面PCD，所以AB∥面PCD．
又因為A，B，E，F(xiàn)四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
所以AB∥EF．
解：（Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB．
因為PA=PD，所以PG⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．
在菱形ABCD中，因為AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中點，
所以AD⊥GB．
如圖，以G為原點，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系G﹣xyz．
設PA=PD=AD=2a，
則G（0，0，0），A（a，0，0）， ．
又因為AB∥EF，點E是棱PC中點，所以點F是棱PD中點．
所以 ．
所以 ．
設平面AFE的法向量為n=（x，y，z），則有 所以
令x=3，則平面AFE的一個法向量為 ．
因為BG⊥平面PAD，所以 是平面PAF的一個法向量．
因為 ，
所以平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出AB∥CD，從而AB∥面PCD，由此能證明AB∥EF． （Ⅱ）取AD中點G，連接PG，GB．以G為原點，GA為x軸，GB為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．