Question

已知曲線C：

（1）當為何值時，曲線C表示圓；

（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線交于M、N兩點，且，求的值.

（3）在（1）的條件下，設直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在實數(shù)使得以為直徑的圓過原點,.

【解析】

試題分析：（1）二元二次方程表示圓的充要條件為（2）（2）直線和圓相交，根據(jù)半徑，弦長的一半，圓心距求弦長.（3）圓的弦長的常用求法：（1）幾何法：求圓的半徑，弦心距，弦長，則（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式；（3）與圓有關的探索問題：第一步：假設符合條件的結論存在；第二步：從假設出發(fā)，利用直線與圓的位置關系求解；第三步，確定符合要求的結論存在或不存在；第四步：給出明確結果；第五步：反思回顧，查看關鍵點.

試題解析：解 ：（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5． 3分

（2），即，

所以圓心C（1,2），半徑， 4分

圓心C（1,2）到直線的距離 5分

又，，即，． 6分

（3）假設存在實數(shù)使得以為直徑的圓過原點，則，設，則， 7分

由得， 8分

，即，又由（1）知，

故 9分

10分

11分

12分

故存在實數(shù)使得以為直徑的圓過原點，． 13分

考點：（1）二元二次方程表示圓的條件；（2）弦長公式的應用；（3）探索性問題.