Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣ ）ex ， g（x）=4x2﹣4x+mln（2x）（m∈R），g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2）．
（1）求f（x1﹣x2）的最小值；
（2）若不等式g（x1）≥ax2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令g'（x）=0得8x2﹣4x+m=0①，

因?yàn)間（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），

所以方程①在（0，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，

所以 解得 ，

且 ，

所以 ，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，

所以f（x1﹣x2）的最小值為

（2）解：）由（Ⅰ）可知， ，

由g（x1）≥ax2得 ，

所以

=

=

=

=

令（x）= （ ），

則'（x）=

因?yàn)? ，

所以 ，φ'（x）＜0，即φ（x）在 遞減，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣3﹣2ln2]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），推出 ，求出m的范圍，化簡(jiǎn)x1﹣x2 ， 通過(guò) 時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，求解f（x1﹣x2）的最小值．（2）通過(guò)g（x1）≥ax2得 ，化簡(jiǎn) = ，構(gòu)造（x）= （ ），求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．