【題目】函數(shù)對任意的
滿足:
,當(dāng)
時,
(1)求出函數(shù)在R上零點;
(2)求滿足不等式的實數(shù)
的范圍.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】
(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、函數(shù)的周期定義,結(jié)合已知可以判斷出該函數(shù)的奇偶性和周期,可以判斷出時,
的零點情況,最后利用函數(shù)的奇偶性和周期求出函數(shù)在R上零點;
(2)先判斷出當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性,可以化簡不等式,最后求出實數(shù)
的范圍.
(1)因為 ,所以函數(shù)
是周期為2的奇函數(shù).
因為,所以當(dāng)
時,函數(shù)沒有零點,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知:當(dāng)
,函數(shù)沒有零點,而
,令
,有
,而由奇函數(shù)的性質(zhì)可知:
,所以有
,因此當(dāng)
時,函數(shù)有三個零點,又因為函數(shù)的周期是2,所以函數(shù)的零點為:
,即
;
(2)設(shè),因此
.
,
因為,所以
,因此
,故函數(shù)
在
時是增函數(shù).
因為函數(shù)是奇函數(shù),所以
因為 ,所以
,
,因此當(dāng)
時,根據(jù)單調(diào)性可知:
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓與拋物線
有一條斜率為1的公共切線
.
(1)求.
(2)設(shè)與拋物線切于點
,作點
關(guān)于
軸的對稱點
,在區(qū)域
內(nèi)過
作兩條關(guān)于直線
對稱的拋物線的弦
,
.連接
.
①求證:;
②設(shè)面積為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點
處的切線方程為
,求
的值;
(2)若的導(dǎo)函數(shù)
存在兩個不相等的零點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,是否存在整數(shù)
,使得關(guān)于
的不等式
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計),如圖所示,已知
,
(單位:米),要求圓M與
分別相切于點B,D,圓
與
分別相切于點C,D.
(1)若,求圓
的半徑;(結(jié)果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當(dāng)
多大時,總造價最低?最低總造價是多少?(結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點
,其左焦點為
.過
點的直線
交橢圓于
、
兩點,交
軸的正半軸于點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且與
垂直的直線交橢圓于
、
兩點,若四邊形
的面積為
,求直線
的方程;
(3)設(shè),
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地擬建造一座體育館,其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示:曲線是以點
為圓心的圓的一部分,其中
,
是圓的切線,且
,曲線
是拋物線
的一部分,
,且
恰好等于圓
的半徑.
(1)若米,
米,求
與
的值;
(2)若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為
,且點
在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓
的兩條切線,切點分別為
不在坐標(biāo)軸上),若直線
在x軸,y軸上的截距分別為
,證明:
為定值;
(3)若是橢圓
上不同兩點,
軸,圓E過
,且橢圓
上任意一點都不在圓E內(nèi),則稱圓E為該橢圓的一個內(nèi)切圓,試問:橢圓
是否存在過焦點F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
為兩非零有理數(shù)列(即對任意的
,
,
均為有理數(shù)),
為一個無理數(shù)列(即對任意的
,
為無理數(shù)).
(1)已知,并且
對任意的
恒成立,試求
的通項公式;
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的
,
恒成立的充要條件為
;
(3)已知,
,試計算
.
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