Question

【題目】某廠家舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為萬(wàn)元時(shí)，銷售量萬(wàn)件滿足（其中， 為正常數(shù)），現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為萬(wàn)元/萬(wàn)件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大.

Answer 1

【答案】（1）y=25－（+x），（0≤x≤a，a為正常數(shù)）（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）利潤(rùn)為總銷售所得減去投入成本和促銷費(fèi)用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又銷售量t萬(wàn)件滿足t=5－，整理化簡(jiǎn)可得y=25－（+x）；（2）將函數(shù)方程整理為對(duì)勾函數(shù)形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3時(shí)，得到利潤(rùn)最大值為。

試題解析：

（1）由題意知，利潤(rùn)y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x

由銷售量t萬(wàn)件滿足t=5－（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．

代入化簡(jiǎn)可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a為正常數(shù)）

（2）由（1）知y =28－（+x+3），

當(dāng)且僅當(dāng)= x +3，即x =3時(shí)，上式取等號(hào)．

當(dāng)a≥3時(shí)，促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)0＜a＜3時(shí)，y在0≤x≤a上單調(diào)遞增，

x = a，函數(shù)有最大值．促銷費(fèi)用投入x = a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

綜上述，當(dāng)a≥3時(shí)，促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；

當(dāng)0＜a＜3時(shí)，促銷費(fèi)用投入x = a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．