Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f(x)=的最大值為g(a).

（1）設(shè)t=，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t);

（2）求g(a);

（3）試求滿足g(a)=g()的所有實(shí)數(shù)a.

Answer 1

解:（1）∵t=，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∵t²=2+∈［2,4］,t≥0①

∴t的取值范圍是［,2］.由①得t²-1,

∴m(t)=a(t²-1)+t=at²+t-a,t∈［,2］.

（2）由題意知，g(a)即為函數(shù)m(t)= at²+t-a,t∈［,2］的最大值.

注意到直線t=-是拋物線m(t)= at²+t-a的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論.

①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=m(t),t∈［,2］的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段，

由t=-＜0知，m(t)在［,2］上單調(diào)遞增，

∴g(a)=m(2)=a+2.

②當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t,t∈［,2］,∴g(a)=2.

③當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)y=m(t),t∈［,2］的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段，

若t=-∈(0, )，即a≤-,則g(a)=m()=.

若t=-∈(,2)，即-＜a≤-,則g(a)=m(-)=-a-.

若t=-∈(2,+∞)，即-＜a＜0,

則g(a)=m(2)=a+2.

綜上，g(a)=

（3）解法1：

情形1：當(dāng)a＜-2時(shí), ＞-，此時(shí)g(a)=，g()=+2.

由2+=，解得a=-1-，與a＜-2矛盾.

情形2：當(dāng)-2≤a＜-時(shí)，-＜≤-時(shí)，此時(shí)g(a)= ,g()=--,由=--,解得a=-與a＜-矛盾.

情形3：當(dāng)-≤a≤-時(shí)，-≤≤-，此時(shí)g(a)= =g().

所以-≤a≤-.

情形4：當(dāng)-＜a≤-時(shí)，-2≤＜-，此時(shí)g(a)=-a-，

g()=,由-a-=,解得a=-,與a＞-矛盾.

情形5：當(dāng)- ＜a＜0時(shí)，＜-2，此時(shí)g(a)=a+2,g()=.

由a+2=,解得a=-2,與a＞-矛盾.

情形6：當(dāng)a＞0時(shí)，＞0，此時(shí)g(a)=a+2,g()=+2,

由a+2=+2，解得a=±1,由a＞0知a=1.

綜上知，滿足g(a)=g()的所有實(shí)數(shù)a為-≤a≤-或a=1.