Question

如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．
（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD與PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接PC，交DE與N，連接MN，所以MN∥AC，再根據(jù)線面平行的判定定理可得答案．
（2）以D為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：解：（1）證明：連接PC，交DE與N，連接MN，
在△PAC中，∵M(jìn)，N分別為兩腰PA，PC的中點(diǎn)
∴MN∥AC，…（2分）
又AC?面MDE，MN?面MDE，
所以 AC∥平面MDE．…（4分）
（2）以D為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以 DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以，，…（6分）
設(shè)平面PAD的單位法向量為，則可取        …（7分）
設(shè)面PBC的法向量，
則有
即：，取z=1，
則∴…（10分）
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為θ，
∴…（11分）
∴θ=60°，
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為60°…（12分）
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，求二面角的平面角的關(guān)鍵是找到角，再求出角，解決此類問題也可以建立坐標(biāo)系，利用空間向量求出空間角與空間距離．