Question

已知{a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；   
（2）求{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)公差為d，公比為q，則a₂b₂=（3+d）q=12①，S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
聯(lián)立①②結(jié)合d＞0可求d，q，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n，b_n
（2）直接利用（1）的結(jié)論對數(shù)列{a_n•b_n}用錯(cuò)位相減法求和即可求T_n．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，公比為q，
則a₂b₂=（3+d）q=12①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
聯(lián)立①②可得，（3d+7）（d-3）=0
∵{a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，d＞0．
則d=3，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（2）T_n=3•1+6•2+9•4+…+3n•2^n-1，①
2T_n=3•2+6•4+9•8+…+3n•2ⁿ，②②-①得：T_n=-3（1+2+4+…+2^n-1）+3n•2^n-1
=-3（1+

1-2n-1

1-2

）+3n•2^n-1
=3（n-1）•2^n-1
∴T_n=3（n-1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示的等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，求和公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和，屬于數(shù)列的知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．