【題目】平面上有個點,其中每兩點之間的連線均染成紅色或黑色.若圖中總存在兩個沒有公共邊的同色三角形,求的最小值.

【答案】8

【解析】

對于如圖的七個點,并將圖中的線畫成紅色,其余的線畫成黑色.

于是圖中所得到的四個三角形,其中任何兩個三角形都是有公共邊的紅色三角形.此外對四個黑三角形,也有一條公共邊,因此所求的最小正整數(shù).

下面證明時符合題目要求,用反證法.

假設(shè)對8個點每兩點的連線染成紅、黑兩色,但不滿足題目要求.

由于對于6個點,則必存在一個單色三角形,不妨設(shè)為紅三角形(圖中用實線連接).

這時,考察除去的其他6.,,…,每兩點連線染成二色的圖形.由假設(shè)知,這6點存在的同色三角形只能是黑三角形,不妨設(shè)是黑三角形(圖中用虛線連接).

再除去,,的其余5點,由假設(shè)知這5點不能有單色三角形,于是只能為如圖的情形,不妨設(shè)所連線為紅線,所連線為黑線.

這時,再考察由,,,,6點構(gòu)成的圖.由反證假設(shè)只能有兩個紅三角形,且這兩個紅三角形都以為公共邊,于是這兩個三角形只能是.所以為紅邊,為紅邊.類似地可證為黑邊,此時若為紅邊則為無公共邊紅三角形,若為黑邊,則為無公共邊黑三角形,均與反證假設(shè)矛盾.

綜上,所求最小正整數(shù)為.

練習冊系列答案
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組號

分組

回答正確的人數(shù)

回答正確的人數(shù)占本組的頻率

1

2

18

3

4

5

1)分別求出的值;

2)從第23、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2、34組每組各抽取多少人?

3)指出直方圖中,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是多少(取整數(shù)值)?

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罰款情況如下:

超速情況

10%以內(nèi)

10%~20%

20%~50%

50%以上

罰款情況

0

100

150

500

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