Question

【題目】已知拋物線(xiàn)： ，焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)（不垂直軸）過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與的斜率之積為.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，射線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)斜率之積等于求出的值，由此求得拋物線(xiàn)方程；（2）利用（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線(xiàn)的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，兩者橫坐標(biāo)的比值大于，得證.

試題解析：

∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)， ，

設(shè)，直線(xiàn)（不垂直軸）的方程可設(shè)為．

∴，

∵直線(xiàn)與的斜率之積為，

∴，∴，得，

由，化為，

其中，

∴，

∴，拋物線(xiàn)．

（2）證明：設(shè)，∵為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

∴，

∴直線(xiàn)的斜率為，

直線(xiàn)的方程為代入拋物線(xiàn)的方程，

得，∴，

∵，∴．