Question

2．如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在邊長(zhǎng)為2的正方形A′B′C′D′的邊A′B′和A′D′上移動(dòng)，則$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． π
• D． 4

Answer 1

分析 令∠A'AD=θ，由邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上，可得出B，C的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，算出它們的數(shù)量積，由二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：如圖以A'為坐標(biāo)原點(diǎn)，A'B所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
令∠A'AD=θ，由于AD=1，故A'A=cosθ，A'D=sinθ，
如圖∠BAx=$\frac{π}{2}$-θ，AB=1，
故x_B=cosθ+cos（$\frac{π}{2}$-θ）=cosθ+sinθ，
y_B=sin（$\frac{π}{2}$-θ）=cosθ，
故$\overrightarrow{A'B}$=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），
即$\overrightarrow{A'C}$=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴$\overrightarrow{A'B}$•$\overrightarrow{A'C}$=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是的最大值是2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，由于向量的運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以在研究此類題時(shí)應(yīng)該想到設(shè)角來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo)．