Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（1）直線l為曲線y=f（x）的切線，且l過原點(diǎn)，求l的方程及切點(diǎn)．
（2）若k＞0，求不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率和切線的方程，代入原點(diǎn)，可得m=2，進(jìn)而得到所求切線的方程；
（2）由e^x＞0，不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0，即為$\frac{kx-（1+k）}{x}$＜0，又k＞0，即為x（x-$\frac{1+k}{k}$）＜0，由二次不得好死的解法即可得到所求解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），即有切線的斜率k=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$，
切線的方程為y-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$（x-m），
l過原點(diǎn)，可得-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}（m-1）}{{m}^{2}}$（-m），
解得m=2，n=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即有切點(diǎn)為（2，$\frac{{e}^{2}}{2}$），切線的方程為y=$\frac{{e}^{2}}{4}$x；
（2）由e^x＞0，不等式f（x）+k（1-x）f（x）＞0，即為
$\frac{kx-（1+k）}{x}$＜0，又k＞0，即為x（x-$\frac{1+k}{k}$）＜0，
即有0＜x＜$\frac{1+k}{k}$，
則解集為（0，$\frac{1+k}{k}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意設(shè)出切點(diǎn)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．