6.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{{e}^{x}}{x}$.
(1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且l過原點(diǎn),求l的方程及切點(diǎn).
(2)若k>0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)出切點(diǎn),求得切線的斜率和切線的方程,代入原點(diǎn),可得m=2,進(jìn)而得到所求切線的方程;
(2)由ex>0,不等式f(x)+k(1-x)f(x)>0,即為$\frac{kx-(1+k)}{x}$<0,又k>0,即為x(x-$\frac{1+k}{k}$)<0,由二次不得好死的解法即可得到所求解集.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-1)}{{x}^{2}}$,
設(shè)切點(diǎn)為(m,n),即有切線的斜率k=$\frac{{e}^{m}(m-1)}{{m}^{2}}$,
切線的方程為y-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}(m-1)}{{m}^{2}}$(x-m),
l過原點(diǎn),可得-$\frac{{e}^{m}}{m}$=$\frac{{e}^{m}(m-1)}{{m}^{2}}$(-m),
解得m=2,n=$\frac{{e}^{2}}{2}$,
即有切點(diǎn)為(2,$\frac{{e}^{2}}{2}$),切線的方程為y=$\frac{{e}^{2}}{4}$x;
(2)由ex>0,不等式f(x)+k(1-x)f(x)>0,即為
$\frac{kx-(1+k)}{x}$<0,又k>0,即為x(x-$\frac{1+k}{k}$)<0,
即有0<x<$\frac{1+k}{k}$,
則解集為(0,$\frac{1+k}{k}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的方程,注意設(shè)出切點(diǎn),考查不等式的解法,注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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求證:g($\frac{1}{4}$)+f($\frac{1}{3}$)+g($\frac{5}{6}$)+f($\frac{3}{4}$)=1.

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