Question

已知向量

a

=(2sinx，sinx-cosx)，

b

=(cosx，

3

(cosx+sinx))，函數(shù)f(x)=

a

•

b

+1
（1）當(dāng)x∈(

π

4

，

π

2

)時(shí)，求f（x）的值域；并求其對(duì)稱(chēng)中心．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若將f（x）向左平移

π

4

個(gè)單位，且b=5，f(

B

2

)=3，求△ABC面積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，即可求出函數(shù)的值域和對(duì)稱(chēng)中心．
（2）根據(jù)正弦定理以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵

π

4

＜x＜

π

2

，
∴

π

2

＜2x＜π，
∴

π

6

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，
∴

1

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1，
∴1＜2sin（2x-

π

3

）≤2，
于是2＜2sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴f（x）的值域?yàn)椋?，3]，
對(duì)稱(chēng)中心(

kπ

2

+

π

6

，1)．
（2）f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1平移后f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵f(

B

2

)=3，
∴2sin(B+

π

6

)+1=3，
∴sin(B+

π

6

)=1，B=

π

3

．
據(jù)余弦定理a²+c²-ac=25≥ac，
∴ac≤25，
∴s△=

3

4

ac≤

25 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．