Question

4．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+\frac{3}{4}（x≤0）}\\{lnx+a（x＞0）}\end{array}\right.$的圖象在A，B兩點處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關(guān)系式，從而得出a=-lnx₂-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）+$\frac{7}{4}$，最后利用導數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：當x＜0時，f（x）=x²+x+$\frac{3}{4}$的導數(shù)為f′（x）=2x+1；
當x＞0時，f（x）=lnx+a的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的兩點，且x₁＜x₂，
當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數(shù)f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-（x₁²+x₁+$\frac{3}{4}$）=（2x₁+2）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數(shù)f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-a-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+2①，a+lnx₂-1=-x₁²+$\frac{3}{4}$-x₁②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜2，由①②得a=-lnx₂-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）²-（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-1）+$\frac{7}{4}$
=ln$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）²-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2）+$\frac{7}{4}$，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜2，且a=lnt-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{4}$，
設(shè)h（t）=lnt-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{4}$，（0＜t＜2）
則h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$＞0，∴h（t）在（0，2）為增函數(shù)，
則h（t）＜h（2）=ln2+$\frac{11}{4}$，∴a＜ln2+$\frac{11}{4}$，
∴若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，
a的取值范圍是（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．
故答案為：（-∞，ln2+$\frac{11}{4}$）．

點評 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查了推理論證能力、運算能力、創(chuàng)新意識，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．