Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥ =

1

2

AD，BE

∥ =

1

2

AF
（Ⅰ）證明：C，D，F(xiàn)，E四點共面；
（Ⅱ）若AB=BC=BE
①求BD與平面ADE所成角的正弦值
②求二面角A-ED-B余弦值的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面的基本性質(zhì)及推論,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，由已知得四邊形BCHG是平行四邊形，從而EC，F(xiàn)H共面．又點D在直線FH上，由此能證明C，D，F(xiàn)，E四點共面．
（Ⅱ）①：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出BD與平面ADE所成角的正弦值．
②

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0），設(shè)平面BDE的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），由此能求出二面角A-ED-B余弦值的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，
∵FG=GA，F(xiàn)H=HD
∴GH

∥

.

1

2

AD，又BC

∥

.

1

2

AD，故GH

∥

.

BC，
∴四邊形BCHG是平行四邊形，∴BG∥CH．
∵BE

∥ =

1

2

AF，G是FA的中點，
∴BE

∥

.

GF，∴EF∥BG
∴EF∥CH，∴EC，F(xiàn)H共面．又點D在直線FH上
∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．
（Ⅱ）①解：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，
以A為坐標(biāo)原點，射線AB為x軸正半軸，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=BC=BE=a，
則由題設(shè)得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），
D（0，2a，0），E（a，0，a），G（0，0，a），H（0，a，a），

BD

=（-a，2a，0），

AD

=（0，2a，0），

AE

=（a，0，a），
設(shè)平面ADE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AD =2ay=0 n • AE =ax+az=0

，∴

n

=（1，0，-1），
設(shè)BD與平面ADE所成角為θ，
sinθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

-a

5a2 • 2

|=

10

10

，
BD與平面ADE所成角的正弦值為

10

10

．
②解：

BE

=（0，0，a），

BD

=（-a，2a，0），
設(shè)平面BDE的法向量

p

=（x₁，y₁，z₁），
由

p • BE =az1=0 p • BD =-ax1+2ay1=0

，得

p

=（2，1，0），
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

2 • 5

=

10

5

．
∴二面角A-ED-B余弦值的大小為

10

5

．

點評：本題考查四點共面的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．